Связь направления выпуклости со знаком второй производной

3. Направление выпуклости функции. Точки перегиба

Направление выпуклости вверх. Связь направления выпуклости функции со знаком второй производной. Определение точки перегиба. Необходимое. Далее озвучим связь между значением второй производной функции на некотором интервале и направлением ее выпуклости. Схематично наносим эти точки на числовую прямую и выясняем знак выражения на каждом из. ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Определим знак второй производной в каждом из этих интервалов.

Поэтому, как следует из теоремы Отыскание точек локального экстремума функции Как следует из теоремы Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю.

Такие точки, то есть точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками возможного экстремума или стационарными точками. Однако в стационарной точке не обязательно достигается локальный экстремум функции. Предположим теперь, что функция дифференцируема всюду на заданном интервале, за исключением конечного числа точек, в которых эта функция не имеет производной. В тех точках, в которых функция имеет отличную от нуля производную, эта функция, как следует из теоремы Поэтому в таких точках локального экстремума быть не.

связь направления выпуклости со знаком второй производной

В остальных точках заданного интервала, то есть в стационарных точках и в тех точках, где функция не имеет производной, наличие локального экстремума. Такие точки, а именно стационарные точки и те точки, в которых функция не имеет производной, называются критическими точками.

Для того чтобы выяснить, имеется ли экстремум в критической точке, требуется дополнительное исследование. Рассмотрим достаточное условие достижения функцией локального экстремума в критической точке. Пусть функция f x дифференцируема всюду в некоторой окрестности критической точки x 0за исключением, быть может, самой точки x 0и непрерывна в точке x 0. Выберем в пределах рассматриваемой окрестности произвольную точку x1отличную от точки x 0.

Функция f x дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду на отрезке [x 0 ; x1 ], за исключением, быть может, точки x 0и непрерывна в точке x0.

3. Направление выпуклости функции. Точки перегиба

Поэтому для функции f x на отрезке [x 0 ; x1 ] выполнены все условия теоремы Лагранжа. Но это означает, что в пределах данной окрестности значение f x0 является наибольшим, то есть точка x 0 доставляет функции f x локальный максимум.

Рассмотрим примеры нахождения локальных экстремумов с помощью производной. Найдём критические точки заданной функции: Заданная функция дифференцируема на всей действительной оси, поэтому других критических точек.

В каждой из этих точек функция непрерывна так как дифференцируемость функции означает её непрерывность.

  • Выпуклость функции, точки перегиба
  • Выпуклость функции. Направление выпуклости. Точки перегиба. Условия выпуклости и перегиба.
  • Производная и исследование функций: Учебное пособие

Поэтому на основании теоремы Так как функция дифференцируема на всей действительной оси, то других критических точек. Однако если в этой критической точке функция f x имеет равную нулю первую производную то есть эта точка является стационарной и, кроме того, имеет отличную от нуля вторую производную, то можно указать следующее достаточное условие наличия в данной точке локального экстремума.

Пусть функция f x имеет в стационарной точке c отличную от нуля вторую производную. Но тогда по теореме Найдём вторую 1 3 x производную заданной функции: Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке Пусть функция f x непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема всюду на этом отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек.

Эти предположения означают, что на отрезке [a;b] может содержаться лишь конечное число критических точек функции f x. Поставим задачу об отыскании максимального и минимального значений функции f x на отрезке [a;b]. Необходимое условие точки перегиба Теорема. Но это противоречит наличию перегиба в точке M x0; f x0.

Полученное противоречие доказывает теорему. Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба.

Выпуклость функций

Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке, для чего следует сформулировать достаточное условие перегиба.

Достаточное условие точки перегиба Теорема. Из того, что f " x0 слева и справа от точки x0 имеет разные знаки, то направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x0 является различным. Это и означает наличие перегиба в точке M x0; f x0. Таким образом, график функции является выпуклым на интервале и вогнутым.

В обеих критических точках существуют перегибы графика так как 2-я производная при переходе через них меняет знак. Найдём ординаты данных точек: Чтобы закомментировать некоторые важные моменты нарисую его полностью: Прежде всего, ещё раз подчёркиваю необходимость аккуратно выполнять чертежи: Кстати, обратите внимание, что там он не может быть выпуклым, поскольку линия бесконечно близко приближается к своей горизонтальной асимптоте.

При переходе через левую зелёную точку график начинает плавно выгибаться вверх — и до второй точки у нас интервал выпуклости.

связь направления выпуклости со знаком второй производной

Затем снова следует плавный прогиб вниз и на крайнем правом интервале имеет место вогнутость графика.